Proces kasowania dla binarne drzewo poszukiwań

Delecja (w ogóle) nie jest przemienne. Oto kontrprzykład:

    4
   / \
  3   7
     /
    6

Co jeśli usuwamy 4, a następnie 3?

Gdy usuwamy 4, otrzymujemy 6 jako nowy root:

   6
  / \
 3   7

Usuwanie 3 nie zmienia drzewo, ale daje nam to:

  6
   \
    7

Co jeśli usuwamy 3, a następnie 4?

Gdy usuwamy 3 drzewo nie zmienia:

 4
  \
   7
  /
 6

Jednak, kiedy teraz usunąć 4, nowy korzeń staje 7:

  7
 /
6

Dwa uzyskane drzewa nie są takie same, a zatem delecja jest przemienne.

AKTUALIZACJA

Nie czytałem, że ograniczenie to jest, kiedy zawsze usunąć węzeł z 2 dzieci. Moje rozwiązanie jest dla przypadku ogólnego. Będę go zaktualizować, jeśli / kiedy mogę znaleźć kontrprzykład.

Kolejna aktualizacja

Nie mam konkretnych dowodów, ale ja zamierzam zgadywać:

W ogólnym przypadku można obsłużyć delecji różnie w zależności od tego, czy mają dwoje dzieci, jedno dziecko, czy ma dzieci. W przeciw-przykład ja przewidzianym, najpierw usunąć węzeł z dwójką dzieci, a potem do węzłów z jednym dzieckiem. Po tym, ja usunąć węzeł bez dzieci, a następnie innego węzła z jednym dzieckiem.

W szczególnym przypadku tylko usuwanie węzłów z dwójką dzieci, warto rozważyć przypadek, gdy oba węzły znajdują się w tym samym sub-tree (ponieważ nie ma znaczenia, czy są one w różnych sub-drzew, można mieć pewność, że ogólna struktura nie ulegnie zmianie w zależności od kolejności delecji). Co naprawdę trzeba udowodnić, czy kolejność usunięciem węzłów w tym samym sub-tree, gdzie każdy węzeł ma dwoje dzieci, sprawy.

Rozważmy dwa węzły A i B, gdzie A jest przodkiem B. Następnie można doprecyzować kwestię być:

Czy usunięcie przemienne gdy rozważa usunięcie dwoma węzłami od A binarne drzewo poszukiwań, które mają związek przodek-potomek siebie (oznaczałoby to, że oni są w tym samym sub-tree)?

Po usunięciu węzła (powiedzmy), to przechodzić odpowiedniego poddrzewa znaleźć najmniejszy element. Ten węzeł będzie węzłem liść i nigdy nie może być równy B (ponieważ B ma dwójkę dzieci i nie może być węzłem liść). Można by potem zastąpić wartość A z wartością tej liści węzła. Oznacza to, że tylko strukturalne zmiany w drzewie jest zastąpienie wartości A jest z wartości węzła liści, a utrata liści węzła.

Ten sam proces jest zaangażowany do B. Oznacza to, że zastąpienie wartości węzła i zastąpić liści węzła. Tak w ogóle, po usunięciu węzła z dwójką dzieci, jedyna zmiana strukturalna jest zmiana wartości węzła jesteś usuwanie i usunięcie węzła liści, kto jest wartość używasz jako zamiennik .

Więc pytanie jest następnie rafinowana:

Można zagwarantować, że będzie zawsze ten sam węzeł zastępczego, niezależnie od kolejności delecji (jeśli są zawsze Usuwanie węzła z dwojgiem dzieci)?

Odpowiedź (chyba) jest twierdząca. Czemu? Oto kilka uwag:

• Powiedzmy usunąć pierwszy potomek węzła i drugi węzeł przodek. Sub-tree, który został zmodyfikowany, gdy usunięty węzeł potomka jest nie w lewym sub-tree z prawej dzieckiem węzła przodka. Oznacza to, że sub-tree pozostaje nienaruszone. Oznacza to również, niezależnie od kolejności usunięcie, dwa różne sub-drzewa są modyfikowane, a zatem działanie jest przemienne.
• Ponownie, powiedzmy usunąć pierwszy potomek węzła i drugi węzeł przodek. Sub-tree, który został zmodyfikowany, gdy usunięty węzeł potomka jest w lewym sub-tree z prawej dzieckiem węzła przodka. Ale nawet tutaj, nie pokrywają. Powodem jest to, kiedy po raz pierwszy węzeł potomka usunięcia, jeśli spojrzeć na lewe poddrzewa węzła potomka w prawym dziecka. Gdy następnie usunąć węzeł przodka, będzie nigdy zejść że sub-tree ponieważ będziesz zawsze jechać w lewo po wejściu lewe poddrzewa węzła przodka prawym dziecka. Więc jeszcze raz, niezależnie od tego, co najpierw usunąć jesteś modyfikowanie różnych sub-drzew i tak wydaje się kolejność nie ma znaczenia.
• Innym przypadkiem jest sytuacja, gdy węzeł przodka usunąć pierwszy i okaże się, że minimalna węzeł jest dzieckiem węzła potomka. Oznacza to, że węzeł potomek będzie skończyć z jednym dzieckiem, a usunięcie jednego dziecka jest trywialne. Rozważmy teraz przypadek, w którym w tym scenariuszu usuniętego węzła potomka pierwszy. Następnie należy zastąpić wartość węzła potomka z jego prawej dziecka, a następnie usunąć właściwą dziecko. Następnie po usunięciu węzła przodka, kończy się znalezieniem samą minimalną węzeł (lewy dziecko starego usuniętego węzła, który jest również lewy dziecko zastępowanego węzła). Tak czy inaczej, w końcu z tej samej strukturze.

To nie jest rygorystyczny dowód; Są to tylko niektóre obserwacje zrobiłem. Za wszelką cenę, nie krępuj się grzebać dziury!

Odpowiadam tu do drugiej aktualizacji Vivin użytkownika.

Myślę, że to jest dobry przekształcenie pytania:

Czy usunięcie przemienne gdy rozważa usunięcie dwoma węzłami od A binarne drzewo poszukiwań, które mają związek przodek-potomek siebie (oznaczałoby to, że oni są w tym samym sub-tree)?

ale to zdanie pogrubione poniżej nie jest prawdziwe:

Po usunięciu węzła (powiedzmy), to przechodzić odpowiedniego poddrzewa znaleźć najmniejszy element. Ten węzeł będzie węzłem liść i nigdy nie może być równy B

od minimalnego elementu w prawym poddrzewie jest może mieć prawo dziecka . Tak, to nie jest liściem. Nazwijmy minimalnego elementu w prawym poddrzewie jest successor(A). Teraz, prawdą jest, że B nie może być successor(A), ale może to być w jego prawym poddrzewie. Tak, to jest bałagan.

Postaram się streścić.

hipoteza :

1. A i B mają dwójkę dzieci każdy.
2. A i B są w tym samym poddrzewie.

Inne rzeczy możemy wywnioskować z hipotez:

1. B nie jest successor(A), ani to successor(B).

Teraz, biorąc pod uwagę, myślę, że istnieją 4 różne przypadki (jak zwykle, niech być przodkiem B):

1. B znajduje się w lewym poddrzewie A w
2. B jest przodkiem successor(A)
3. successor(A) jest przodkiem B
4. B i następca (A) nie ma żadnego związku. (Są one w różnych poddrzew należących do A)

Myślę (ale oczywiście nie mogę tego udowodnić), że przypadki 1, 2 i 4 nie mają znaczenia. Tak, tylko w przypadku successor(A)jest przodkiem procedury kasowania B nie może być przemienne. Czy może to?

Mijam piłkę:)

Pozdrowienia.

Wydaje mi się, że kontrprzykład pokazano w odpowiedzi Vivin jest jedynym przypadku braku przemienności i że rzeczywiście jest eliminowane przez ograniczenia, że ​​tylko dwa węzły dzieci mogą zostać usunięte.

Ale może być również wyeliminowana, jeśli odrzucić to, co wydaje się być jednym z pomieszczeń Vivin, który jest, że powinniśmy przechodzić odpowiedniego poddrzewa tak mało, jak to możliwe, aby znaleźć żadnego dopuszczalnego następcę. Jeśli natomiast zawsze promować najmniejszy węzeł w prawym poddrzewie jako następcy, niezależnie od tego, jak daleko okazuje się być zlokalizowany, a nawet gdybyśmy zrelaksować ograniczenie usuwanie węzłów mniej niż dwoje dzieci, za wynik Vivin

    7
   /
  6

    4
   / \
  3 7
     /
    6

    6
     \
      7